こんにちは、樋口です。

何をおたずねなのかという内容に確信が持てませんので的外れとなるかもしれ
ませんが、1週間ほど経ったようですし、以下、私なりにお答えさせていただ
きます。

■(1)標準化スコア
添付画像の(1)は、Rのcorresp()関数が出力する標準化スコアをそのままプロ
ットしたものです。標準化されていますので、各成分のスコアは（対応分析な
らではの方法で計算すると）平均が0、分散が1となります。

■(2)標準化スコア×固有値の平方根
それに対して(2)では、各成分の標準化スコアに、各成分の特異値（正準相関
係数）をかけてからプロットしています。おっしゃっている「それぞれの座標
に正準相関係数をかけ」というのは、この形のことかと思います。

では特異値をかけることで、何が起こっているでしょうか？　図形としてみる
と、横に少し引き延ばされていることが分かるでしょう。特異値というのは固
有値の平方根ですから、固有値が大きい方の軸が、図形としては少し引き延ば
されるというか、拡大されるのです。つまり(1)をもとにして、各成分の固有
値に応じて、縦と横とを伸び縮みさせたものが(2)です。

■(3)枠いっぱいに拡大
これに対して(3)KH Coderでは、固有値ではなく、描画領域の枠を基準にして
引き延ばしています。(1)をもとにして、縦横ともに枠いっぱいに広げている
のです。

これはスコアに手を加えるのではなくて、プロットの軸を可変にすることで引
き延ばしています。(1)と(2)では、X軸の1cmと、Y軸の1cmは、同じ大きさのス
コアの変化をあらわしていました。しかし(3)では、軸の目盛りを見るとわか
るように、X軸の1の方が広い幅をとっています。このように拡大する場合は、
標準化スコアを使っても、［標準化スコア×固有値の平方根］を使っても、プ
ロットの図形としてはまったく同じになります。変わるのは軸の目盛りだけで
す。なお現在のKH Coderでは標準化スコアを使っています。

■メリット・デメリット
(2)のプロットでは、語Aと語Bの距離よりも、語Aと語Cの距離の方が近いとい
った、距離の解釈を正確に行ないやすいというメリットがあります。プロット
上の距離が、プロファイル間のカイ二乗距離（の近似）を反映していると私は
理解しています。また、慣例としても、この形のプロットが多く利用されてき
ました。（と言いつつ、SPSSにはこの形のプロットを作成する機能がなかった
りしますが…）

一方で(3)のプロットには、スペースを有効に使って、ラベルを表示しやすく
なるという利点があります。ラベル同士が重なって、読み取れなくなってしま
うようなケースが減るという利点です。計量テキスト分析の場合には、アンケ
ートの選択肢型設問を扱う場合より、多くの語／ラベルを布置したいことが多
いでしょう。そうした多くの語を表示しやすいように、KH Coderでは(3)の形
でプロットを行なっています。

なお(3)のプロットでは、語と語の距離、変数の値と値の距離を正確に読み取
ることはいくらか難しくなります。しかし、原点からの方向や距離にもとづく
解釈は十分可能です。※原点からの方向や距離にもとづく解釈の例としては、
チュートリアルスライドの21ページをご覧ください。
http://www.slideshare.net/khcoder/kh-coder-28776074


以上が、KH Coderで行なっているプロットの説明と、その形式を選んだ理由で
す。必要でしたら、R上で(2)の形にカスタマイズしていただけます。また、こ
れまではなかったのですが、もし(2)も選べるようにして欲しいというご要望
が寄せられれば、また検討させていただきます。

p.s.
このトピックの詳細については、次の文献が比較的分かりやすいと思います。
Chapter 9, 10, 13およびEpilogue冒頭あたりです。

> Correspondence Analysis in Practice, Second Ed.
> http://amzn.to/1s0Fu3v

こんにちは、樋口です。書き込みありがとうございます。

また、質問の仕方についても、ご配慮いただき感謝申し上げます。格段にお答
えしやすくなりました。（理解せずに質問することはあまり問題ではありませ
ん。ただ、どのように理解を試みて、どこまで理解できているかを、できるだ
け詳しくお書きいただきたいのです）

> ・知りたかった点
> 参照した書籍には、（２）の表示について
> 「この布置を対象解と呼ぶ。ただし、この工夫は、布置を『見やすく』はす
> るが、解の表示としてはふさわしくないとする議論もある」
> とだけ書いてありました。
> ※Rのbiplotの関数を使用した際の解説
>
> この「ふさわしくない」とする理由（議論）を探しておりました。

■誤解を誘いかねない点

例によってどんな「議論」のことか確信を持てませんが、ここは大胆に（無謀
に？）樋口の考えを書こうと思います。

先の投稿（No.1923）で示した(1)〜(3)のすべてに当てはまることですが、語
と変数（または見出し）との距離が「近い」「遠い」と解釈することは数学的
には正しくありません。語と語、変数と変数なら「近い」「遠い」と言える／
言いやすいのですが、語と変数はダメです。語と変数とは、厳密には、同じ尺
度上にあるとは言えないためです。したがって、布置された場所が近いかどう
かではなく、原点からの方向や距離にもとづいて解釈するのが正しい方法とな
ります。

例えば、漱石『こころ』チュートリアルの対応分析をご覧下さい。このスライ
ドの21枚目です。（当該の1枚を画像としてこの投稿に添付しています）
http://www.slideshare.net/khcoder/kh-coder-28776074

この図の左上の方に「上＿先生と私」という見出しがあり、「先生」という語
があります。ここから「上＿先生と私」には「先生」という語が特徴的に（特
に多く）出現していたことが分かります。ただし、解釈のしかた、書き方とし
ては、「布置された場所が近いかどうか」ではなく「原点からの方向や距離」
に注目するのが正しいのです。

> ×「上」の近くに「先生」があるので、「先生」は「上」に特徴的
>
> ○原点から見て「上」の方向、それも原点から大きく離れた位置にあるので、
> 　「先生」は「上」に特徴的

この「○」の解釈ならよいのですが、「×」の方は数学的には正しくないので
す。近いか遠いかを見るなら、「持つ」だって「先生」と同じくらい「上」に
近い（ように見える）わけですが、原点から離れている「先生」の方が、「上」
に特徴的なのです。

この「×」の解釈のような、言わば誤解を誘いかねないという理由で、「ふさ
わしくない」云々の議論があるものと私は考えています。

■ではどうするのか

1つは、「上」「中」「下」のような変数だけのプロットと、「先生」「持つ」
のような語だけのプロットの2枚に分けるという方法があります。※ただ、誤
解を避けるためだけにわざわざ余分にスペースをとるのかという気もします。

また、先の投稿（No.1923）で示した(1)〜(3)はすべて、変数にも語にも（行
スコアにも列スコアにも）同じ操作を加えるという点で、「対称的」なプロッ
トです。それに対して、別々の操作を加えるような非対称的なプロットを作る
ことで、この問題に対処するという考え方もあるようです。※これを行なうと、
語か変数のどちらかが原点付近に集まってしまい、読み取りにくくなります。

上記いずれの方法も完全な解決法とは言えませんし、結局は、これまでも多用
されてきた対称的なプロットで良いのではないかということです（少なくとも
デフォルトで利用するプロットとしては）（Greenacre 2007: 267,
http://amzn.to/1s0Fu3v ）。ですから、上記の「×」ではなく「○」の解釈
をするようにさえ注意すれば、安心して対称的なプロットをお使いいただける
でしょう。

■おことわり

ずいぶん前ですが、統計数理研究所の名誉教授でいらっしゃる大隅昇先生に、
対応分析について教えていただいたことがあります。そのご恩を世の中に還元
せねばというような気持ちもあって、今回はお答えさせていただきました。

ただ今後、統計についてなんだって答えるか／答えられるかというと、そうも
いかないと思います。あらかじめご了承下さい。また、私の記述に誤りがあっ
たとすれば、それはすべて私一人の責任によるものです。

こんにちは、樋口です。

先の投稿では、Rのbiplot()関数については触れませんでしたので、少しだけ
補足しておきます。

この投稿に添付したファイルでは、上のNo.1923でも出てきた「(2)標準化スコ
ア×固有値の平方根」のプロットと、biplot()関数を比べています。

ちなみに、もとのデータはチュートリアルでも使っている漱石の「こころ」で
す。赤の四角形は「上」「中」「下」といった変数の位置を、グリーンのドッ
トは語の位置をあらわしています。

■biplot関数（デフォルト）の特徴

添付画像を見ると、biplot()関数では、変数は変数で枠いっぱいに広げ、語は
語で枠いっぱいに広げていることが分かるでしょう。変数（行スコア）と語（
列スコア）とで、図形としての扱い（拡大率）を変えて、それぞれを枠いっぱ
いに広げているのです。（※したがって、これはもう「対称的なプロット」と
は言えないように思います）

上のNo.1923に出てきた(1)〜(3)までに関しては、プロットを全体として縦横
に引き延ばすというだけの違いでした。それに対してbiplot()では、変数と語
との、相対的な位置関係まで変化していることがわかるでしょう。

■メリット・デメリット

変数と語とを別々に枠いっぱいに広げることで、スペースを有効に利用できる
可能性が高まるように思います。一方で、伝統的に多用されてきた(2)と比べ
ると、けっこう印象が変わることもあってか、このbiplotの方式をよしとしな
い方もいらっしゃるようです。

ただ、原点からの方向と距離を見るという、上のNo.1926で述べた正しい解釈
のしかたであれば、(2)からでも(4)からでも、まったく同じ分析結果を読み取
ることができるはずです。

■まとめ

正しい解釈のしかたならば同じ結果を読み取れますから、個人的にはbiplot()
の方式に問題があるとは考えていません。ただ、以前から多用されてきた方式
とは異なることを知っておいても良いかもしれません。

ということで、いくつかのプロット方式がありますが、正しい解釈のしかたさ
え知っていれば、実用上はあまり気にしなくてよいように思っています。